Kaedah pendidikan terbaik ialah kebelakaan. Namun, tampaknya pendidikan kita dewasa ini tidak lagi menekankan ciri ini. Pendidikan kita lebih memberatkan ikhtisas yang melampau. Mithalnya, matematik adalah salah satu subjek yang bukan sahaja melibatkan aritmetik dan geometri, tetapi juga melibatkan pergolakan kefalsafahan. Inilah kebelakaan displin-displin dalam satu subjek. Unsur-unsur logik dan metafizik begitu sarat dalam matematik. Menerusi unsur inilah, matematik mampu menembus tajam dalam ruang falsafah. Justeru, wawancara ini menemui sosok yang tepat dalam membicarakan tentang falsafah matematik. Dari kacamata Prof. Dr. Mat Rofa Ismail, dari Institut Penyelidikan Matematik, UPM, kita bertuah dibentangkan dengan sebuah penerokaan falsafah yang mempersonakan.
Di manakah falsafah dan matematik bertemu? Di samping itu, mengapakah banyak juga ahli falsafah besar-besar datangnya dari latar matematik–seperti Pithagoras, Russell, Wittgenstein, Leibniz, Newton, dll?
Sebenarnya matematik merupakan juzuk utama falsafah. Falsafah pula yang bermaksudkan cintakan kebenaran, ialah ilmu induk yang mempunyai tiga komponen iaitu sains, matematik dan metafizik. Falsafah pada asalnya mengkaji alam semesta dengan menggunakan pemikiran secara mendalam untuk mengetahui hakikat kewujudan alam semesta. Alam semesta yang boleh dicerap indera dikaji dengan penghujahan mantik untuk sampai kepada hakikat ketuhanan. Ketuhanan merupakan matlamat utama falsafah. Justeru, matematik dilihat sebagai ilmu yang menghubungkan sains dengan metafizik dalam skema ilmu falsafah. Maka, dengan takrifan ini, seseorang yang menguasai sains, matematik dan cabang-cabangnya serta sampai kepada hakikat kebenaran bahawa alam semesta ini sebagai manifestasi keagungan Ilahi, layak digelar ahli falsafah. Ciri ini boleh diperhatikan dalam diri ahli falsafah seperti Pithagoras, al-Farabi, Liebniz, Newton dan Einstein misalnya. Mereka kesemuanya mengakui kewujudan Tuhan Yang Maha Agung sebagai pencipta mutlak alam semesta.
Namun, ada sebahagian ahli falsafah seperti Russell yang belum tamat pemikirannya lalu gagal sampai ke destinasi metafizik. Russell sangat dikenali sebagai ahli falsafah yang menafikan metafizik. Dalam era moden ini pula, apabila seseorang pelajar melakukan kajian secara mendalam dalam cabang ilmu sains, matematik atau metafizik, beliau akan dianugerah Doktor Falsafah. Falsafah di sini mewakili maksud kajian yang mendalam yang tersirat di belakangannya aktiviti mencari kebenaran/hakikat yang bertepatan dengan realiti. Maka sama ada seorang pelajar itu melakukan kajian dalam bidang matematik, biologi, ekologi, atau antropologi maka di akhir kajiannya maka beliau mendapat ijazah falsafah yakni PhD.
Sejarah hidup Newton boleh diperhatikan untuk menggambarkan maksud ahli falsafah. Beliau mengkaji alam semesta khususnya berkaitan kimia, fizik dan optik. Kajian ini menggunakan kekuatan logik dan matematik. Beliau mengembangkan ilmu kalkulus dan teori penghampiran dalam matematik untuk menerangkan konsep gerakan, graviti dan optik. Beliau mengiktiraf ketuhanan yang Maha Agung, Yang Maha Esa. Pendirian beliau tentang ketuhanan berbeza dengan masyarakat Eropah yang lain. Beliau menolak konsep triniti Kristian tetapi mengisytiharkan mazhab unitarian yang mengiktiraf ketuhanan yang Maha Mulia. Beliau lebih banyak menulis tentang ketuhanan berbanding dengan bidang sains yang lain. Itulah sebab Raja James yang menjadi penaung Kristian di England berkonflik dengan Newton kerana pendirian Newton bahawa Tuhan mesti Esa Sifat-Nya. Newton berpesan agar kematian beliau tidak diuruskan jenazahnya seperti penganut Kristian yang lain. Perhatikan perkataan beliau dalam karya agungnya Mathematical Principles of Natural Philosophy:
“The true God is a living, intelligent, and powerful being…He is eternal and infinite, omnipotent and omniscient; that is, his duration reaches from eternity to eternity; his presence from infinity to infinity; he governs all things, and knows all things that are or can be done. …We know him only by his most wise and excellent contrivances of things… [W]e revere and adore him as his servants”.
Jelas Newton menggabungkan ketiga-tiga komponen falsafah iaitu sains, matematik dan metafizik yang melayakkan beliau digelar ahli falsafah. Setiap ahli falsafah semestinya seorang saintis, tetapi seorang saintis tidak semestinya ahli falsafah.
Dalam fizik, yang dianggap penting adalah teoremnya. Manakala dalam matematik pula yang dianggap penting adalah aksiomnya. Tapi, mengapakah aksiom dalam matematik ini menjadi demikian penting. Dan, apakah terdapat contoh terkenal dalam sejarah matematik bahawa ada aksiom matematik yang kuat diyakini, kemudian akhirnya runtuh?
Setiap bangunan ada batu asasnya. Asas yang mantap menjadi sebab pula akan kekuatan bangunan tersebut. Demikian pula fizik dan matematik. Dalam fizik ada andaian atau postulat asas. Fizik mengandaikan keseragaman hukum alam sebagai asas binaannya. Hukum fizik berkaitan gerakan, graviti, entropi, dan seumpamanya yang dikaji di atas premis keharmonian hukum alam. Selagi alam semesta berjalan secara harmoni seperti semalam, maka hukum fizik diandaikan berlaku esok dalam keadaan yang sama. Cerapan ujikaji makmal dalam fizik membuat cerapan berdasar premis tersebut.
Andaian asas dalam matematik pula dikenali sebagai aksiom. Dalam matematik ada aksiom nombor nyata Peano, ada aksiom geometri Euklid dan ada aksiom teori set. Bahkan setiap perbincangan matematik diandaikan di atas aksiom tertentu. Aksiom ialah sifat asas yang dipercayai benar dan tidak perlu lagi dibuktikan kebenarannya. Bahkan sifat lain dibuktikan benar nisbi kepada aksiom sebagai premis. Aksiom dapat dirasakan dengan intuisi akan kebenarannya. Teorem matenatik pula dibuktikan kebenarannya berdasar aksiom tadi secara deduksi. Lalu keputusan demi keputusan dalam bidang berkenaan diperoleh berdasar asas aksiom tersebut. Apakah yang terjadi andainya satu daripada aksiom itu dipersoalkan? Ini mengakibatkan seluruh keputusaan yang dibuat berdasar aksiom tersebut turut dipersoalkan.
Dalam geometri Euklid misalnya beberapa aksiom diletakkan sebagai asas, seperti titik tidak berdimensi atau mempunyai jarak. Garis lurus merupakan gabungan titik-titik, dan gabungan garis membentuk permukaan. Dua garis lurus yang selari tidak bertemu selama-lamanya. Aksiom tersebut dianggap benar lebih daripada 2000 tahun tetapi apabila dunia kenisbian Einstein giat dilakukan kajian, maka didapati aksiom itu hanya benar dalam ruang yang terhad sahaja. Aksiom tersebut tidak benar secara sejagat, khususnya tentang sifat keselarian garis lurus. Maka geometri Euklidean yang diagung-agungkan selama 2000 tahun itu pun runtuhlah, kerana asasnya yang telah terbukti lemah dan palsu. Geometri ini diganti pula oleh geometri Labochevskian atau geometri kenisbian.
Di atas dasar yang sama, sifat cahaya bergerak lurus yang disebut Newton telah dibuktikan palsu oleh pengikut Einstein. Ahli geometri kenisbian lebih jauh dari itu menyatakan bahkan garis lurus pun tidak wujud. Apa yang Newton sebut sebagai garis lurus itu sebenarnya bulatan dengan jejeri tak terhingga. Hakikatnya, geometri baharu menganggap bulatan sebagai bentuk asas. Demikian pula Einstein yang mengangap zarah tidak boleh bergerak melebihi halaju cahaya, telah dicabar oleh Stephen Hawking yang menyatakan pengembangan alam akibat ledakan Big Bang berlaku lebih pantas daripada halaju cahaya dalam pecahan saat-saat terawal peristiwa tersebut. Demikianlah tabii sains yang sentiasa mempunyai kebenaran relatif, dan sentiasa menunggu masa untuk dipalsukan oleh penemuan baharu.
Dalam sesuatu agama, aksiom bolehlah dibandingkan pula dengan rukun iman atau articles of faith yang menjadi asas agama tersebut. Rukun tersebut menjadi asas dan semua amalan penganutnya dinilai berdasar prinsip asas itu. Ini dengan jelas menunjukkan fizik dan matematik, atau sains secara umumnya ditafsirkan berdasar postulat atau aksiom yang terikat ketat dengan sistem nilai dan keyakinan sesuatu tamadun yang mengembangkan ilmu tersebut.
Kita lihat, pada Zaman Renaisans Eropah, saintis waktu tersebut lebih dikenali sebagai filsuf tabii, natural philosopher. Ini jelas dapat kita semak menerusi tema buku Newton sendiri yang mencatatkan, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica. Namun, nampaknya setelah itu, secara perlahan-lahan paradigma begini berubah, sehingga pada tahap ekstrimnya menjadi saintisme. Mengapa hal ini boleh berlaku?
Pada zaman Newton, sains masih dikategori sebagai falsafah tabii, yakni sains sebagai komponen penting falsafah yang mengkaji tabii atau alam fizik. Konotasi ini membawa maksud matlamat sains sebenarnya terikat dengan matlamat falsafah, yakni mengenali hakikat kebenaran tabii. Andainya seseorang menemui sebuah lukisan yang cantik di atas kanvas di dalam sebuah hutan misalnya, maka mustahil dia berhujah bahawa lukisan itu terjadi sendirinya. Bahkan, dia berhujah mesti ada pelukisnya, walaupun dia tidak mengetahui siapa pelukisnya. Lukisan hanyalah imej tiruan gambaran daripada alam semesta yang sebenarnya. Tentulah alam semesta yang cantik serba indah, harmoni lagi artistik ini, lebih memerlukan kewujudaan Pencipta-nya. Analogi ini dibuat untuk memperlihatkan falsafah mempunyai matlamat ketuhanan. Falsafah tabii ketika itu mengkaji alam semesta untuk membuktikan kewujudan Pencipta-nya seperti yang dilakukan oleh Newton. Itulah intisari Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.
Pada masa Galileo, saintis Eropah menghadapi masalah pertentangan dengan gereja. Tuhan sebagai matlamat sains tabii yang didokong oleh saintis awal Eropah seperti Gilbert dan Paracelsus disuaikan dengan kehendak gereja lalu terbentuklah fahaman mekanisme yang menganggap Tuhan tidak penting lagi dalam kajian sains. Fahaman ini dikenali sebagai fahaman mekanisme yang meminggirkan peranan ketuhanan dalam peristiwa alam tabii. Fahaman ini dijuarai oleh Descartes. Namun pergolakan antara gereja dengan saintis terus berlaku sehingga sains benar-benar terpisah daripada agama. Ini menerbitkan fahaman sekularisme yang memisahkan akademik keseluruhannya daripada agama. Sekularisme disempurnakan oleh Charles Darwin dan Alfred Wallace pada pertengahan kurun ke-19. Darwinisme bukan sahaja memisahkan ketuhanan dengan sains, malahan menafikan kewujudan Tuhan secara total. Fahaman Darwinisme disokong pula oleh Marxisme di Rusia lalu fahaman positifisme yang menafikan metafizik secara keseluruhannya bertapak di kalangan saintis Barat. Fahaman ini menjadi dominan dalam kajian sains kurun ke-20 di seluruh dunia, termasuk negara kita. Fahaman ini mengisytiharkan hanya alam fizikal sahaja yang boleh dicerap dan diambil data yang boleh dianggap domain sains manakala sebarang pernyataan yang tidak dapat diambil datanya atau dianalisis tidak layak digelar sains. Hanya sains emperikal yang menentukan kebenaran mengikut fahaman kumpulan ini. Hanya sains penentu kebenaran, atau sainsisme, yang diperjuangan kumpulan positifis menyentuh seluruh sendi-sendi agama, khsususnya Islam yang diwahyukan oleh Pencipta Langit dan Bumi. Malang bagi saintis Muslim yang harus melupakan Tuhan-nya sekejap ketika ujikaji makmalnya, tetapi mengingatinya kembali ketika mengunjungi masjid kemudinnya. Inilah akibat perjuangan kesejagatan sainsisme tanpa hubungan dengan iman dan sistem nilai.
Perjalanan daripada maksud falsafah tabii yang bermatlamatkan ketuhanan kepada sains positifis yang menafikan ketuhanan, benar-benar menyaksikan betapa sains dipengaruhi sistem nilai generasi yang terlibat dengan ilmu berkenaan.
Apakah semua benda dapat dimatematikkan sepertimana yang dipercayai Pithagoras? Malah, kita pun tahu yang D´Alembert telah cuba mematematikkan Tuhan menerusi teori kebarangkalian. Dalam hemat D´Alembert, kebarangkalian mempercayai wujudnya Tuhan adalah lebih mungkin berbanding sebaleknya. Jika Tuhan—dalam fikiran—pun sudah dimatematikkan, maka apakah memang segalanya memang boleh dimatematikkan?
Pithagoras mementingkan aritemetik yakni ilmu tentang nombor. ”Number is everything” menjadi falsafah Pithagoras. Alam semesta diciptakan dalam kadar dan nisbah yang terbaik. Kadar dan nisbah ialah nombor. Mengkaji nisbah yang tersirat dalam ciptaan Ilahi merupakan matlamat kajian aritmetik di sisi Pithagoras atau pengikut yang datang selepasnya seperti Nikomakhus dan Ikhwan al-Safa. Di sisi pendokong mazhab Pithagoras, sesuatu pernyataan hanya tertakluk kepada dua nilai sahaja: benar atau palsu dan tiada di atara kedua-duanya.
Dalam fahaman positifisme, konsep korelasi yang berdasarkan kebarangkalian dan data rawak antara dua peristiwa diperkenalkan untuk menafikan dua nilai tegar benar-palsu yang diamalkan golongan yang berpegang kepada tautologi mantik. Tujuan korelasi di takrifkan untuk mengelak daripada konsep ketersebaban dua peristiwa yang berakhir dengan Sebab Terakhir yang ditafsirkan golongan falsafah tabii sebagai faktor Iradah Ilahi yang menentukan keterkaitan dua peristiwa itu. Lalu, untuk menolak prinsip ketersebaban, yakni untuk menolak konsep ketuhanan dalam matematik, golongan positifis menggunakan data statistik untuk menunjukkan bukan prinsip ketersebaban yang mengikat dua peristiwa, tetapi kerelasi yang ditunukkan oleh pekali keterkaitannya. Maka bebaslah matematik-fizik daripada prinsip ketersebaban di tangan Kroneker, Laplace dan angkatannya.
Namun untuk menujukkan ketertiban kejadian alam hanya bersandar kepada peluang kebarangkalian semata-mata seperti anggapan positifis Barat, tanpa konsep ketuhanan, maka statistik menujukkan kebarangkalian tesebut bernilai sifar. Sebagai contoh yang mudah, dalam lambungan 100 kali duit siling, peluang supaya gambar keris muncul secara bersiri dalam semua lambungan itu, ialah 1 dalam 2100 yang nilai hampir sifar yang bermaksud hampir mustahil. Bayangkan sel badan manusia yang mempunyai 3.5 bilion asid amino dalam pembentukan DNA yang tersusun indah, adakah mungkin disaandarkan kepada proses kebetulan untuk menyusun lingkaran struktur DNA yang menjadi identiti genetik manusia yang sungguh keompleks itu? Pengkaji yang ikhlas terpaksa akur bahawa peristiwa kebetulan dan rawak tidak mungkin membentuk susunan yang tersusun indah seperti keindahan perjalanan cakerawala dan jisim langit. D’Alambert atau sesiapa sahaja yang mampu berfikir mengakui kewujudan Tuhan dengan melihat kepada ketertiban dan keharmonian yang terdapat dalam semua peristiwa alam semesta.
Adakah semua peristiwa dapat dimatematikkan? Ketahuilah akal manusia pun ada batas kemampuannya. Deria pendengaran dan penglihatan pun ada had masing-masing. Matematik ialah ilmu akal manusia yang terhad. Tentulah matematik pun terhad permodelannya, lebih-lebih lagi yang melangkau ke alam metafizik. Benarlah kata-kata Ibn Khaldun bahawa akal manusia diibaratkan seperti neraca kecil yang tepat untuk menimbang emas yang halus, tetapi akan rosak binasa andainya neraca yang sama digunakan untuk menimbang sebuah bukit.
Principia Mathematica adalah antara buku besar dalam matematik. Buku karangan Russell dan Whitehead ini dianggap Principia Mathematica kedua setelah Newton. Hasrat mereka adalah untuk menyambung usaha Frege ini dan seterusnya membuktikan matematik itu logik? Apakah mereka berjaya?
Pada awal kurun ke-20, persoalan asas bangunan matematik menjadi tema perbincangan kerana kebenaran matematik sangat bergantung kepada aksiom asas. Bertrand Russell bersama rakannya termasuk North Whitehead percaya matematik boleh dibina dengan aksiom paling asas yang bertolak daripada teori set dan logik. Matematik ialah pernyataan logik dan logik membina matematik, menjadi tema aliran pemikiran kumpulan ini. Aliran Russell ini dikenali sebagai aliran logikisme dalam perkembangan kemudiannya. Aliran ini menjadi pencabar kepada dua aliran lain yang berkembang di Jerman dan Belanda iaitu aliran formalisme tajaan Hilbert dan aliran intuisisme tajaan Brouwer. Freege begitu taksub dengan gagasan matematiknya untuk mencari asas yang kuat dalam matematik, sebelum dianalisis lanjut oleh Russell. Mereka mencari hakikat matematik. Frege adalah seorang pendokong gagasan Hilbert. Teorem kelengkapan Hilbert menjadi aspirasi besar Frege. Teorem ini melafazkan kepercayaan mereka bahawa rantau matematik adalah lengkap dalam ertikata semua masalah ada penyelesaian yang boleh dibina berdasarkan sistem aksiom asas. Maka selama berpuluh tahun Frege membuktikan pelbagai teorem berdasarkan aksiom. Russell dengan landasan logikisme mengkritik pandangan ini dengan mengemukakan beberapa paradoks yang menolak gasasan Frege.
Perbincangan ketika itu tertumpu kepada konsep ketakterhinggaan, ketakterbilangan set nombor nyata, aksiom pilihan dan seumpamanya yang didapati tidak didasarkan di atas aksiom yang jelas dan dipersetujui. Setiap aksiom terdedah kepada kritikan. Jadi, bagaimanakah matematik boleh dibina di atas aksiom yang dipertikaikan? Dalam pernyataan matematik terdapat pelbagai paradoks, yakni pernyataan matematik yang bercanggah dengan sifat asas matematik. Setiap kumpulan dan aliran ingin membuktikan gagasan mereka paling sesuai untuk dijadikan asas matematik. Namun setiap aliran ada kekuatan dan kelemahan masing-masing apabila analisis matematik yang berkaitan dengan konsep penjenisan, ketakterhinggaan, set dalam set, dan seumpamanya dianalisis dalam kerangka pemikiraan setiap aliran. Tiada satu pun aliran yang dapat bertahan tanpa kritikan kumpulan aliran lawannya. Kumpulan logikisme Russell tidak terkecuali mendapat tentangan hebat dan ditunjukkan kelemahan demi kelemahan pada peringkat takrifan yang paling asas termasuk wujudnya paradoks dalam matematik. Binaan logikisme tidak dapat bertahan lama.
Ada cerita yang menarik apabila kita menyebut kumpulan logikisme. Kumpulan penyelidikan Scottish Mathematical Group yang berpegang kepada falsafah logikisme telah bersedia dengan modul matematik aliran Russell untuk diperkenalkan di United Kingdom yang diharapkan mentakrifkan matematik yang terbaik binaanya. Dasar matematik mengikut kumpulan ini ialah logik dan teori set. Pada masa yang sama, binaan Russell diisytiharkan runtuh di Eropah. Modul tersebut ditolak di sana, tetapi Kementerian Pelajaran Malaysia mengambil modul tersebut untuk dipekenalkan di sekolah menengah di negara ini dengan nama Matematik Moden pada tahun 1975. Aliran ini berakar umbi dalam pengajaran matematik negara ini walaupun tertolak di negara kelahirannya. Cukup menarik, andainya ada pengkaji yang melihat sejauh manakah ”kejayaan” Matematik Moden dalam pengajaran matematik di Malaysia. Ciri khusus matematik ini ialah pelajar dikehendaki menulis semua pernyataan matematik dalam bahasa set.
Russell pula memperkenalkan Paradoks Russell. Paradoks ini juga terkenal sebagai paradoks tukang gunting. Menurut paradoks ini, hanya terdapat seorang tukang gunting di dalam sebuah kampong. Dan, tukang gunting tersebut hanya mengunting mereka yang tidak mengunting sendiri rambutnya. Di sinilah timbulnya paradoksnya, kerana siapa pula yang mengunting rambut tukang gunting dalam kampong tersebut. Maka pertanyaannya, sejauh manakah paradoks Russell ini telah memberikan dampak pada falsafah?
Paradoks tukang gunting Russell sangat terkenal di Eropah. Demikian pula paradoks pustakawaan dengan katalognya. Pada zaman Yunani dulu ada paradoks Zeno. Morale cerita ini ialah kepalsuan pernyataan seseorang boleh dikesan menerusi paradoks yang wujud dalamnya. Dalam mahkamah misalnya, apabila seseorang penjenayah berbohong lalu merekacipta bukti palsu, maka peguam dengan mudah mengenali kepalsuannya. Bagi pelajar falsafah pula, kebenaran dapat dicerap menerusi pernyataan yang konsisten dan harmoni antara satu dengan lainnya tanpa kewujudan sebarang percanggahan atau paradoks. Pembuktian matematik yang terdapat paradoks tertolak. Dalam perbincangan falsafah aliran pemikiran Eropah setiap kumpulan sentiasa mencari paradoks bagi aliran lawan mereka, bagi menunjukkan aliran tersebut mempunyai kecacatan. Akhirnya semua aliran pemikiran Barat boleh ditunjukan terdapat paradoks di dalamnya seperti aliran logikisme, intuisisme, formalisme, instrumentalisme, behaviourisme, konstruktivisme dan seumpamanya. Ciri sepunya yang menolak metafizik menimbulkan pelbagai paradoks dalam aliran tersebut.
Paradoks bukan sahaja berguna untuk menilai kepalsuan pemikiran falsafah tetapi boleh pula digunakan untuk menilai pernyataan harian yang dikeluarkan dalam teknologi maklumat, bahkan dalam media cetak atau elektronik. Sebagai contoh, terdapat banyak paradoks dalam peristiwa 11 September 2001 yang menyatakan kumpulan Osama ben Laden merempuh bangunan WTC. Antara paradoks ialah bagaimanakah mungkin peristiwa itu disiarkan secara langsung ke seluruh dunia oleh CNN yang dirakam oleh pelbagai sudut kamera dalam kedudukan yang strategik? Merenungi paradoks ini pun sudah cukup bagi pelajar falsafah menolak dakwaan tersebut. Adakah anda pernah menyaksikan gambar kemalangan yang sedang berlaku dalam mana-mana kemalangan jalanraya? Bahkan akhbar biasanya menyiarkan gambar kemalangan yang telah berlaku, bukannya gambar yang belum atau sedang berlaku. Bayangkan berapa lamakah masa persediaan yang diperlukan untuk menyiarkan peristiwa secara langsung di media elektronik yang melibatkan pergambaran, hubungan satelit, dan badan penyiaran yang terlibat?
Matematik memang dikenali sebagai ratu sains, atau juga bahasa sains, sekaligus menunjukkannya mengatasi displin-displin sains yang lain. Namun, dalam matematik ini terpecah kepada beberapa mazhab. Ini termasuklah intuisisme, logikisme, formalisme, dll. Sebenarnya, apakah bezanya antara kesemua mazhab ini?
Secara ringkasnya, logikisme berpegang bahawa hakikat matematik ialah logik seperti perbincangan tadi. Formalisme menyatakan matematik ilmu yang formal, menggunakan simbolisme, aksiom yang konsisten dalam setiap pernyataan lema, teorem dan korolarinya. Intuisisme memberi sedikit ruang kepada aktiviti kemanusiaan dan pemikiran dalaman khususnya wujdan dan intuisi dalam formulasi matematik. Bagi pemerhati yang bukan daripada disiplin falsafah, agak sukar untuk melihat secara jelas perbezaan antara ketiga-tiganya. Perbezaan hanya berlaku apabila melibatkan konsep asas aksiom, ketakterhinggaan, induksi, penjenisan set, kesetaraan dan topologi kejiranan nombor nyata. Falsafah yang wujud dalam matematik kemudiannya mempengaruhi pula sains yang lain kerana matematik menjadi domain sepunya bagi bidang sains yang lain khususnya fizik. Rekabentuk ujikaji statistik yang diamalkan dalam data emperikal pula berkait rapat fahaman positifisme yang mendokong formalisme dan logiskisme. Russell sendiri menganut positifisme Carnap dalam aliran pemikiran sainsnya.
Dalam satu kajian, saya bersama rakan di Institut Penyelidikan Matematik, UPM tahun lepas, yang kami lakukan untuk melihat sambutan dan amalan aliran pemikiran tersebut di kalangan guru matematik di Malaysia, secara umumnya kami mendapati guru tersebut mengambil pendekatan formalisme dalam pengajarannya. Agak malang, bagi Malaysia yang mempunyai konsep kesepaduan ilmu seperti yang digariskan dalam Falsafah Pendidikan Negara, apabila formalisme yang meminggir sistem nilai menjadi aliran dominan bagi para guru negara. Mungkin ini berkaitan pula dengan kurikulum dan latihan intelek negara yang secara umumnya berkiblatkan formalisme-sekularisme Barat. Matematik diperkenal sebagai ilmu bebas-nilai, bebas budaya, ilmu yang abstrak, kering dan gersang. Namun ada sedikit maklumat yang mengembirakan kami betapa walaupun guru matematik negara mengamalkan formalisme dalam pengajaran, namun secara individu, guru tersebut ramai yang pecaya kepada Kuhnisme, satu bentuk aliran intuisisme dalam takrifan asalnya. Ini barangkali lahir dalam jiwa pendidik tersebut akibat budaya dan sistem nilai timur yang masih menjadi pegangan mereka walaupun menimba ilmu menerusi falsafah Barat. Apakah kajian kecil kami tidak memperlihatkan Malaysia memerlukan rombakan kembali kurikulum matematik ke dalam acuan sendiri yang sesuai dengan epistimeologi ilmu seperti yang terdapat dalam Falsafah Pendidikan Negara? Falsafah formalisme ternyata bercanggah dengan konsep kesepaduan ilmu amalan negara kita.
Yunani memanggil apeiron bagi takpermanai (infiniti). Kini, masalah ketakpemanai ini adalah salah satu masalah besar dalam matematik, terutamanya dalam mazhab intuisisme. Bahkan, ketakpemanai ini juga merupakan masalah fizik dan masalah falsafah sekaligus. Ahli matematik, Cantor sendiri pun ralat dengan permasalahan ini, dan kemudian cuba diselesaikan oleh Hilbert. Namun anehnya, dalam matematik, ketakpemanai ini tidak pernah dianggap nyata (real). Sebaleknya ia hanya dianggap dalam konteks keupayaan (potential). Persoalannya, mengapakah matematik itu mempertimbangkan sesuatu yang tidak nyata dalam penyelesaiannya?
Persoalan ketakterhinggaan menjadi persoalan yang tidak pernah tamat dalam perbincangan matematik, fizik, kimia, kosmologi bahkan dalam pemikiran kefalsafahan keseluruhannya. Ini kerana pemikiran manusia cuba membuat analogi kebenaran konsep tak terhingga kepada seperti kebenaran konsep yang terhingga. Konsep transitifan dan induksi yang menjadi perhujahan mereka ada banyak kelemahan apabila dimensi tak terhingga diambilkira. Koleksi titik yang mewakili nombor nyata yang tidak boleh bilang dalam selang [0, 1] setara secara hubungan satu ke satu dan ke seluruh selang [0, 2] melalui hbungan fungsi f(x) = 2x misalnya. Ini bermakna bilangan unsur dalam kedua-dua set adalah sama, sedangkan set pertama subset kepada set yang kedua. Secara analisis sifat ini benar, tetapi secara intuisi mampukah wujdan kita mengambarkannya dalam pemikiran? Ini turut bermaksud jumlah atom dalam sebiji beras bersamaan dengan jumlah atom dalam sebuah gunung. Contoh yang mudah ini pun sukar untuk diselesaikan kerana melibatkan persoalan keselanjaran, kesetaraan dan ketakterhinggaan. Persoalan inilah yang diperdebatkan oleh Hilbert, Brouwer, Cantor, Zermalo, Frankel dan angkatannya kerana terdapat banyak analogi sifat topologi garis nyata yang menujukkan ciri yang berbeza apabila dianalisis menerusi dua sudut yang berbeza. Persis perbincangan ini sebenarnya adalah juga persoalan atomisme yang dimulakan oleh Demokritus sejak zaman Yunani lagi, lalu disambung oleh Ibn Sina, Fakhru al-Razi, Descartes, Liebniz dan Newton. Persoalan ini sentiasa diperbaharui dalam setiap zaman tanpa kesudahan. Aliran pemikiran matematik cuba membuat abstrak tentang konsep yang tidak nyata semata-mata untuk menunjukkan aliran mereka mampu menembusi alam apeiron yang melayakkan aliran itu menjadi dasar pembinaan matematik terkini secara sejagat. Imaginasi fikiran manusia yang terbuka membuatkan mereka mempertimbangkan kes terhingga dan tak terhingga, dalam analisis matematik yang terdedah dengan pelbagai kelemahan sebab akal manusia itu pun terhad tabiinya.
Dalam analisis kompleks, satah komples yang dipetakan kepada permukaan Reimann dengan mengenalpasti titik tak terhingga diumpukkan kepada titik kutub, sama ada kutub selatan atau kutub utara, di atas sebuah sfera. Ini merupakan antara usaha untuk melihat persoalan apeiron itu ke ke atas permukaan yang terbatas tetapi tidak terhingga. Titik tersebut diangggap titik singularan yang tidak menunjukkan sifat seperti titik biasa di atas sebuah sfera. Percubaan ini lebih terdedah kepada persoalan falsafah berbanding analsis matematik. Kajian-kajian dalam teori singularan dan katastrofi kemudiannya didasarkan kepada perubahan mengejut yang melibatkan kuantititi genting yang biasanya melibatkan konsep ketakterhinggaan seperti peristiwa Big Bang dalam kosmologi atau Black Holes dalam astrofizik. Tujuan matematik diperluaskan kepada persoalan tak terhingga berkait rapat usaha permodelan matermatik kepada peristiwa alam yang berlaku secara mendadak, genting dan tidak mengikut hokum fizik yang biasa. Namun permodelan ini sentiada terdedah kepada kritikan pengkaji yang lain. Persoalan tersebut melibatkan faktor metafizik.
Geometri Bukan Euklidan pertama kali didakwa ditemui oleh Bolyai-Lobachevsky pada 1830. Itu memakan masa ribuan tahun setelah penemuan Geometri Euklid. Sebenarnya, apakah hubungan antara geometri–sama ada Euklid mahu pun Bukan Euklid–terhadap falsafah?
Inilah tabii falsafah yang bergantung kepada akal pemikiran manusia. Pada suatu ketika geometri Euklid dianggap benar secara mutlak tetapi dibuktikan tidak benar apabila dimensi yang melibatkan konsep ketakterhinggaan diambil kira. Mengikut geometri Euklid jumlah sudut sebuah segitiga ialah 180 darjah kerana menganggap sempadan segitiga tersebut sebagai garis lurus, sedangkan mengikut geometri Bolyai-Labochevskii, garis lurus sebenarnya tidak wujud pun, kecuali dalam dimensi sederhana kelihatannya sebuah bulatan yang besar seolah-olah garis lurus. Satah permukaan bumi yang cembung pun dalam pandangan mata merupakan dataran rata. Menganggap permukaan bumi sebagai rata hanya benar untuk tujuan kejuruteraan setempat sahaja tetapi tidak benar lagi apabila penerbangan pesawat jarak jauh misalnya, sebab hakikatnya permukaan bumi melengkung sifatnya. Apatah lagi andainya pengembaraan antara galaksi diambilkira. Kebenaran geometri Euklid sangat relatif. Bumi yang permukaannya yang melengkung itu pula hakikatnya, merupakan satu titik sahaja dalam skema cakerawala keseluruhanya. Inilah konsep kerelatifan dan kerangka rujukan. Skema geometri Labochevskii menganggap semua garis berbentuk bulatan, lalu akibat langsungnya jumlah sudut dalam sebuah segitiga lebih daripada 180 darjah. Seorang lagi ahli matematik yang bernama Reimann turut mentakrifkan geometrinya berdasar aksiomnya sendiri dan dengan deduksi beliau menuunjukkan jumlah sudut dalam segitiga kurang daripada 180 darjah. Walaupun kedua-dua hasil tersebut berbeza tetapi kedua-dua geometri Labochevskii dan Reimann benar relatif terhadap aksiom masing-masing. Itulah tabii matematik.
Bayangkan seutas tali yang panjang diregangkan antara dua titik. Dari jauh kelihatan tali tersebut hanyalah satu garis lurus yang dianggap geometri Eulid mempunyai dimensi satu. Akan tetapi apabila kita menghampiri perlahan-lahan tali tersebut, kita akan kelihatan tali mempunyai mempunyai lebar juga, yang bererti ia mempunyai luas permukaan. Luas mempunyai dua dimensi. Akan tetapi apabila kita hampirinya lagi, kita dapati ia bukan sahaja mempunyai luas, tetapi mempunyai isipadu juga kerana rupanya yang sebenar seperti selinder yang mempunyai tiga dimensi. Andainya kita menghampirinya lebih dekat dan dekat, kita akan memasuki dunia atom dan sub-atom yang tentunya dimensinya bertambah dan bertambah. Inilah hakikat kebenaran relatif. Kebenaran sifat geometri itu sangat bergantung di mana kedudukan pencerapnya. Bahkan ahli fizik kuantum telah menemui 10 dimensi dalam alam semesta nyata kita tinggal ini, 4 dimensinya dapat disaksikan tetapi 6 dimensi lagi tersembunyi dalam alamnya tersendiri. Subhanallah. Segera terlintas di fikiran saya akan ayat ke-2 Surah al-Fatihah: ”Segala pujian bagi Tuhan Sekalian Alam”. Sekalian Alam meliput alam syahadah yang dapat disaksikan indera dan alam lain yang tersembunyi, tidak mampu dicerap indera. Merenungi contoh ini kita bertemu bukan sahaja kesepaduan komponen falsafah seperti matematik dengan sains, tetapi melangkaui ke alam metafizik dan kemutlakan wahyu Ilahi.
Kurt Gödel adalah nama besar dalam matematik. Ia terkenal dengan kaedah pemetaan dalam matematik, dan cuba membuktikan kenyataan metamatematik. Namun, tidak ramai yang memahami sumbangannya, yang kini dikatakan sudah dikembangkan dalam banyak bidang lain. Sebenarnya, apakah yang cuba diselesaikan oleh Gödel, dan apakah pengaruh penemuannya terhadap bidang-bidang lain?
Pada tahun 1931, Kurt Gödel mengemukakan teorinya yang menyatakan bahawa terdapat rantau dalam matematik tempat yang mengumpulkan masalah yang logik tetapi kita tidak dapat membuktikan atau menyahbuktikannya. Ahli matematik harus mengakui wujudnya masalah berkecuali yang tidak dapat diselesaikan oleh mantik. Gödel menulis kritikannya terhadap Principia mathematica Russell dan Northwhitehead dalam karyanya Uber formal unentschiedbase satcze der Principia mathematica und verwandter systeme. Beliau mebuktikan beberapa teorem yang menunjukkan kawasan berkecuali memang wujud dan tabii matematik di situ tidak dapat dipastikan sama ada wujudnya penyelesaian atau tidak. Ini bermakna mantik tidak boleh dijadikan landasan hakiki matematik. Teorem pertama Gödel yang menyatakan prinsip tersebut adalah “jika set teori menerusi sistem aksiom tekal, maka terdapat teorem yang tidak dapat dipastikan sama ada boleh dibukti atau boleh dinyahbuktikan”.Teorem kedua Gödel dalam arah yang sama berbunyi “Tidak wujud sebarang prosedur yang membina yang mungkin membuktikan bahawa teori aksiom adalah tekal”.
Pandangan Gödel tidak digemari oleh ramai pemikir yang lain kerana mereka menganngap bahawa semua masalah ada penyelesaiannya. Kedua-dua teorem tersebut mencabar gagasan Hilbert yang menganggap tiada rantau yang masalah matematik tidak boleh dielesaikan menerusi sistem aksiom. Gagasan Hilbert tidak mungkin menjadi kenyataan. Terdapat usulan matematik yang benar tetapi tidak dapat ditunjukkan usulan tersebut benar dan ini adalah intisari penemuan Gödel yang dinamai undecidable principle atau prinsip ketidaktentuan Gödel.
Pengaruh pemikiran Gödel boleh dilihat dalam fizik juga. Dalam mekanik kuantum ada pemahaman yang serupa apabila Heisenberg mengistiyarkan prinsip ketidaktentuannya berkaitan dengan kebarangkalian kedudukan elektron bagi sesuatu atom. Prinsip ini menyatakan halaju dan kedudukan electron tidak dapat dipastikan secara serentak. Perbincangan prinsip ini pun kemudiannya menjadi topik yang hangat kerana mengikut Einstein Tuhan mengetahui segala-galanya dengan tepat sama ada halaju atau kedudukannya. Yang tidak tahu hanyalah Heisenberg kerana “God doesnot play dice” menurut Einstein. Maksud beliau bahawa ilmu Ilahi mutlak sifatnya tidak bergantung kepada kebarangkalian. Ciptaan Ilahi mengikut nisbah dan kadar yang tepat.
Évariste Galois mati ketika berusia 20 tahun. Sebelum meninggal, ia sempat menulis surat lepada rakannya tentang penemuan-penemuannya yang tidak dihargai sewaktunya hidupnya. Setelah mati dalam pertarungan satu-lawan-satu merebut wanita, teori kumpulannya kemudian mendapat sambutan. Apakah teorinya ini turut bersentuhan dengan falsafah?
Galois mengkaji teori kumpulan yang berkaitan dengan pensifar suatu polinomial. Teori ini menerbitkan teori kumpulan permutasi dan kumpulan bersimetri yang boleh diperluaskan terhadap medan tertentu. Galois berjaya menganalisis polinomial khsuusnya yang berdarjah kurang daripada 5 untuk dijelmakan pensifarnya ke dalam bentuk teori kumpulan lalu dicari hubungan antara polinomial dengan takrifan kumpulan tersebut. Perluasan medan ditakrifkan dalam konteks teori ini yang ada kaitannya pula sub-kumpulan yang terbit daripada ciri punca polinomial. Tiada rumus khusus dapat diberikan bagi polinomial berdarjah 5 seperti yang dapat dianalisis seperti persamaan kuadratik. Teori ini dikembangkan untuk kes yang lebih umum dan didapati kemudiannya banyak aspek gunaan boleh diterbitkan daripada teori ini.
Perlu diingati bahawa perkembangan kajian tentang polinomial sangat lewat berlaku di Eropah. Aljabar sebenarnya terasas di tangan al-Khawarizmi sejak kurun ke-9 yang menganalisis persamaan kudratik. Umar Khayyam menganalisis persamaan kubik dalam kurun ke-11 dan Sama’wal mengkaji punca polinomial dalam kurun ke-12. Al-Kasyi dalam kurun ke-14 mencari baki polinomial apabila dibahagi dengan polinomial yang lain. Hasil kajian al-Kasyi dikenali di Eropah dengan nama teori Ruffini-Horner. Al-Quhi menganalisis persamaan berdarjah 4 dalam kurun ke-11 dengan kaedah geometri. Sharafuddin al-Tusi mengkaji polinomial berdarjah 3 menerusi kaedah kalkulus dalam kurun ke-13. Di India Madhava mengkaji siri tak terhinga dalam kurun ke-14. Di China pula, Zhu Shijie mempertimbangkan persamaan khusus dengan darjah-10 dalam kurun ke-13. Pengembangan polinomial dikaji secara matematik dan falsafah sejak Umar Khayyam kerana geometri dan aljabar dilihat dalam epistemologi falsafah oleh kebanyakan pemikir terdahulu. Fermat, Euler, Gauss dan Galois menyambutnya di Eropah dalam kurun-kurun yang lewat.
Ada banyak teori yang dikembangkan secara teori pada awal perkembangannya, namun aspek gunaan hanya berlaku pada zaman mutakhir dalam pelbagai bidang gunaan dan teknologi. Kita perlu mengambil iktibar daripada perkembangan teori kumpulan ini, kerana teknologi tidak datang secara mendadak, bahkan teknologi datang dari pemikiran falsafah dan kajian fundamental. Teori kuadratik dan algoritma al-Khawarizmi, yang kajiannya sambung menyambung hingga ke zaman Galois mempunyai sumbangan secara kualitatif dan kuantitatif menyeberangi zaman dan tamadun. Akhirnya pemikiran tersebut menjelma dalam teknologi terkini. Sesungguhnya tanpa hulu, mana wujud kualanya?
Akhir sekali, seperti yang ditunjukkan, matematik adalah melibatkan aspek-aspek falsafah juga. Maka, sudah tentu matematik tidak terbatas dalam aritmetik dan geometri saja sepertimana yang lazim difahami. Justeru, apakah takrif yang paling tepat untuk matematik?
Matematik merupakan koleksi ilmu yang luas di bawah keluarga falsafah. Aritmetik dan geometri hanyalah dua komponen popular matematik. Cabang matematik yang lain termasuklah mantik, astronomi, muzik, trigonometri, dan analisis. Pelbagai takrifan diberikan untuk matematik, namun dalam perkembangan kemudian, muncul cabang matematik yang lain yang tidak termasuk dalam takrifan. Masyarakat awam memahami matematik sebagai ilmu pengiraan, sedangkan pengiraan hanyalah melibatkan aritmetik sahaja yang merupakan komponen kecil matematik. Penghujahan dan penakulan mantik atau analisis dan abstraksi merupakan unsur asas matematik tetapi bukan berbentuk pengiraan. Bahkan matematik melibatkan irama dan kesenian seperti muzik. Penulis Islam ada yang menulis matematik dalam bentuk syair seperti al-Urjuzah al-Yasaminiyyah karya masyhur ahli aljabar Moroko Ibn Yasamin.
Kecelaruan tentang taktrif matematik berkait pula dengan sistem nilai pentakrifnya yang melihat matematik menerusi sudut pandangnya. Barat menganggap matematik sebagai ilmu abstrak yang menganalisis proposisi kuantitatif menerusi pengoperasi mantik, sedangkan matematik di sisi ilmuwan silam dilihat sebagai perantaraan sains dan metafizik yang sarat nilai, sama ada dari segi kualitatif, kuantitatif atau gabungan antara kedua-duanya. Perhatikan komponen falsafah mengikut ilmuwan silam:
Sains tabii: sains hayat, fizik, kimia, kosmologi, geologi, geografi, perubatan, farmakologi, botani, zoologi, optik, kaji cuaca, kejuruteraan dan seumpamanya.
Matematik: aritmetik, geometri, mantik, astronomi, aljabar, trigonometri, muzik, mekanik, dinamik, dan seumpamanya.
Metafizik: ketuhanan, kalam, roh, jiwa, akal, takdir, akhirat, kebangkitan, malaikat, akhlak, tatasusila, sistem nilai, psikologi, kebahagiaan dan seumpamanya.
Kesukaran pentakrifan matematik berkait rapat dengan kesukaran pentakrifan falsafah yang menjadi induk matematik. The Cambridge Dictionary of Philosophy (suntingan Robert Audi, 1995) misalnya, tidak memuatkan masukan falsafah untuk ditakrifkan sedangkan buku ini mentakrifkan semua istilah dalam ilmu falsafah. Oleh yang demikian, ramai pula yang berpendapat, bahawa yang ditakrifkan komponen falsafah termasuk matematik adalah sudut-sudut keutamaan yang diminati oleh pentakrifnya sahaja. Metafizik, epistemologi, penaakulan mantik, dan etika serta sistem nilai adalah antara perkara asas dalam falsafah. Oleh kerana sistem nilai dan etika menjadi perkara penting dalam bidang berkenaan, maka takrifan falsafah berubah dan berbeza di kalangan masyarakat dan peradaban yang berlainan berdasarkan budaya pemikiran yang dianuti. Akan tetapi ada sudut takrifan falsafah mempunyai pengertian yang sejagat seperti kecintaan ilmu, kebenaran, akhlak, dan sistem metafizik menerusi kewarasan akal yang jitu. Dengan perbezaan aspek sistem nilai, lahirlah takrifan yang berlainan mengikut kebudayaan ilmu masing-masing. Dengan ini sebagai komponen falsafah, matematik perlulah mempunyai unsur kuantitatif, kualitatif, abstraksi, analisis dan sistem nilai. Barat aliran formalisme, logikisme dan positifisme secara jelas menafikan sistem nilai dalam matematik. Takrifan matematik bagi Barat tentulah berbeza dengan takrifan kita, walaupun ada domain sepunya yang berbentuk sejagat. Saya tidak dapat mentakrifkan ilmu ini. Apakah pula takrifan anda?
« Yang Mana Satukah Sebenarnya Tempat Pendidikan Islam? | Shaharir Mohamad Zain: Etnomatematik Menambah Nilai Pendekatan Matematik »
2 Komen
Nota: Kami ucapkan terima kasih atas semua komen yang diberikan. Dipohon gunakan ejaan yang betul. Elakkan memberi komen yang menyentuh sensitiviti, mengelirukan, atau yang tidak jelas maksudnya.
15 Nov 2011
pening aku baca tulisan mat rofa ni…tp dia memang faham apa yg dia tulis
16 Jun 2012
sangat membuka minda. berminat untuk mengkaji dgn lebih lanjut mengenai rombakan sistem pendidikan negara.