Mohammad Alinor Abdul Kadir: Matematik Menembus Aritmetik-Geometri

Kaedah pendidikan terbaik ialah kebelakaan. Namun, tampaknya pendidikan kita dewasa ini tidak lagi menekankan ciri penting ini. Mithalnya, matematik adalah salah satu subjek yang bukan sahaja melibatkan aritmetik dan geometri, tetapi juga melibatkan permainan kefalsafahan. Inilah kebelakaan displin dalam satu subjek. Unsur-unsur logik begitu sarat dalam matematik. Menerusi unsur inilah, matematik mampu menembus tajam dalam ruang falsafah. Justeru, wawancara ini menemui sosok yang tepat dalam membicarakan falsafah yang ditakrifkan sebagai gandingan aritmetik-geometri-logik-bahasa ini. Dari kacamata Dr. Mohammad Alinor Abdul Kadir, akademia matematik UKM yang gigih, kita bertuah dibentangkan dengan sebuah penerokaan falsafah yang mempersonakan.

Di manakah falsafah dan matematik bertemu? Di samping itu, mengapakah banyak juga ahli falsafah besar-besar datangnya dari latar matematik–seperti Pitagoras, Russell, Wittgenstein, Liebniz, Newton, dll?

Matematik, terutamanya Matematik Tulen, bertemu dengan Falsafah ketika ahli-ahlinya membahaskan isu-isu yang menyentuh ontologi, metafizik, epistemologi dan logik. Selain itu, isu-isu luaran berkaitan etika yang membahaskan perilaku seorang pengamal Matematik juga menghubungkan Matematik dan Falsafah. Contohnya adalah isu ontologi, iaitu pertanyaan-pertanyaan berkenaan wujud atau tidak wujudnya benda-benda yang dinamakan Matematik Tulen itu, sepertimana wujudkah angka, wujudkah geometri, wujudkah ahjabar, wujudkah topologi, dll. Bagaimana Matematik Tulen diuruskan, iaitu cara bagaimana perlunya ia ditulis, juga menemukan Matematik Tulen dengan Logik. Selalunya isu-isu ontologi dan epistemologi inilah yang menjadikan banyak ahli-ahli Matematik seperti beberapa yang dinamakan di atas menjadi seorang ahli falsafah yang agak dominan dalam kajian falfasah. Memahami isu-isu tersebut dalam Matematik memungkinkan seseorang itu mampu mendapatkan kaedah berfalsafah yang baik untuk digunakan dalam bidang falsafah. Contoh paling ketara adalah Husserl yang merupakan seorang ahli Matematik yang kemudiannya mencipta bidang fenomenologi.

Dalam fizik, yang dianggap penting adalah teoremnya. Manakala dalam matematik pula yang dianggap penting adalah aksiomnya. Tapi, mengapakah aksiom dalam matematik ini menjadi demikian penting. Dan, apakah terdapat contoh terkenal dalam sejarah matematik bahawa ada aksiom matematik yang kuat diyakini, kemudian akhirnya runtuh?

Jika kita menyetujui Hilbert, Frege dan Russell dan pengikut-pengikutnya, maka mahu tak mahu kita mestilah membangunkan Matematik daripada aksiomnya. Aksiom adalah entiti Matematik paling asas yang tidak terdapat keraguan terhadapnya, malah tidak perlu dibuktikan langsung, kebenarannya terswakandung. Oleh kerana kebenarannya tidak dipertikaikan, maka semua yang lain seperti takrif, teorem, bukti, korolari, dll dapat dikembangkan daripadanya. Namun isunya adalah, kenapa sentiasa ada aksiom baru yang jauh lebih asas daripada sebelumnya? Contoh paling popular adalah Aksiom Geometri Euclid (300SM) yang digantikan oleh Aksiom Geometri Umar Khayyam (?)-Lobachevsky-Bolyai (Tak-Euclid) (kurun ke-19M), tetapi dalam beberapa hal sahaja, bukan semua hal. Maksudnya tidak diruntuhkan, tetapi diperincikan rasanya.

Kita lihat, pada Zaman Renaisans Eropah, saintis waktu tersebut lebih dikenali sebagai filsuf tabii, natural philosopher. Ini jelas dapat kita semak menerusi tema buku Newton sendiri yang mencatatkan, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica. Namun, nampaknya setelah itu, secara perlahan-lahan paradigma begini berubah, sehingga pada tahap ekstrimnya menjadi saintisme. Mengapa hal ini boleh berlaku?

Pada pandangan saya, itu adalah disebabkan kuatnya Golongan Saintis-Filsuf mahu menggantikan Agama Kristian/Metafizik dengan Epistemologi dan Logik sebagai sumber pengetahuan. Sifat aksiom yang terswakandung kebenarannya itu dipertegaskan lagi di sini, walaupun boleh sahaja dikatakan ditiru daripada sifat aksiom-aksiom geometri Euclid, yang juga menafikan sumber keagamaan samawi. Kuatnya usaha untuk membuang sumber samawi inilah yang akhirnya membentuk Saintisme. Walau bagaimanapun masih dengan mudah, kita boleh diberikan contoh yang menolak Saintisme ini. Contohnya, bagaimana anak-anak yang baru lahir mengetahui susu ibunya itu makanannya?

Apakah semua benda dapat dimatematikkan sepertimana yang dipercayai Pithagoras? Malah, kita pun tahu yang d´Alembert telah cuba mematematikkan Tuhan menerusi teori kebarangkalian. Dalam hemat d´Alembert, kebarangkalian mempercayai wujudnya Tuhan adalah lebih mungkin berbanding sebaleknya. Jika Tuhan—dalam fikiran—pun sudah dimatematikkan, maka apakah memang segalanya memang boleh dimatematikkan?

Saya rasa, kalau kita mengetahui ilmu Tuhan, memanglah semua benda boleh dimatematikkan, atau apa sahaja nama yang mahu kita berikan dalam menggantikan matematik itu, contohnya dihisabkan. Tapi kita tak mampu memiliki ilmu Tuhan, maka semua benda tidak mampu dimatematikkan. Contoh paling dramatik adalah, bagaimana Tuhan mematematikan dosa-pahala? Usaha ahli-ahli falsafah mematematikkan Sains Sosial sahaja hingga kini pun tidak pernah berjaya.

Sejauh manakah kajian menunjukkan bahawa matematik itu adalah logik? Sebab Frege sendiri pernah mengakui bahawa aturcaranya untuk membuktikan matematik itu logik adalah tidak berjaya—ekoran permasalahan set. Dan, bukankah itu juga merupakan salah satu dari permasalahan dalam epistemologi matematik?

Russell yang menunjukkan kepada Frege kelemahan kerana meletakkan Matematik di atas Set-Logik. Russell menemui ratusan poradoks. Yang berjaya beliau selesaikan adalah paradoks “Set bagi Set bukanlah Set”, analoginya “Himpunan kereta bukanlah kereta”. Russell menyelesaikan poradoks ini dengan memperkenalkan konsep jenis (type). Tapi ada banyak lagi paradoks yang menjadikan Russell juga menamatkan kajiannya. Namun, pendokong-pendokong Logikisme ini kini, selepas penemuan Lawvere pada 1970, mengembangkan idea yang lebih maju dengan meletakkan Matematik di atas Kategori-Elementary Topos, iaitu peringkat-1 berbanding Set-Logik peringkat-0. Menariknya, cara termaju ini berjaya mengharmonikan Logik Russell dengan Logik Intuisisme Brouwer, yang bertentangan semenjak 1920. Saya baru membentangkan isu ini di INSPEM, UPM, pada 29/1/2009 dalam makalah berjudul “Logical Aspect of Topos Theory”. Tapi, cara ini juga telah ditunjukkan akan menemui kegagalan sebab masih banyak paradoks yang tak terselesaikan.

Principia Mathematica adalah antara buku besar dalam matematik. Buku karangan Russell dan Whitehead ini dianggap Principia Mathematica kedua setelah Newton. Hasrat mereka adalah untuk menyambung usaha Frege ini dan seterusnya membuktikan matematik itu logik? Apakah mereka berjaya?

Mereka gagal ekoran Russell menemukan terlalu banyak paradoks dalam Teori Set. Beberapa darinya beliau selesaikan, namun masih terlalu banyak yang beliau belum diselesaikan. Beliau tinggalkan sahaja tak terusik hingga kini. Usaha Lawvere itu patut disokong oleh kumpulan yang mahu berjuang menemukan Landasan Matematik Tulen. Contohnya, tunjukkan adakah paradoks-paradoks Russell itu terselesaikan dengan Kategori-Elementary Topos?

Russell pula memperkenalkan Paradoks Russell. Paradoks ini juga terkenal sebagai paradoks tukang gunting. Menurut paradoks ini, hanya terdapat seorang tukang gunting di dalam sebuah kampong. Dan, tukang gunting tersebut hanya mengunting mereka yang tidak mengunting sendiri rambutnya. Di sinilah timbulnya paradoks, kerana siapa pula yang mengunting rambut tukang gunting dalam kampong tersebut. Maka pertanyaannya, sejauh manakah paradoks Russell ini telah memberikan dampak pada falsafah?

Paradoks Russell yang terkenal itu telah beliau selesaikan menggunakan Teori Jenis (Type Theory). Dampaknya hanya kelihatan dalam bidang Matematik Logik dan Teori Sains Komputer.

Matematik memang dikenali sebagai ratu sains, mengatasi displin-displin sains yang lain. Namun, dalam matematik ini terpecah kepada beberapa mazhab. Ini termasuklah intuisisme, logikisme, formalisme, dll. Sebenarnya, apakah bezanya antara kesemua mazhab ini?

Perbezaan mazhab-mazhab ini selalunya ditimbulkan oleh berbezanya pandangan setiap mereka dalam beberapa isu utama seperti ontologi, epistemologi dan logik. Contohnya, Frege-Russell mempercayai wujudnya benda yang dinamakan Matematik itu, tetapi Brouwer tidak mempercayainya dan mengatakan semuanya adalah produk fikiran. Contoh lagi, Frege-Russell dan Hilbert menyetujui penggunnaan Hukum Tengah Berkecuali (Excluded Middle Law), yang merupakan teras kepada pembuktian menggunakan kaedah percanggahan. Tetapi Brouwer tidak mempercayainya. Kalau mengikut Lawvere, Frege-Russell dan Brouwer bercakap tentang pembuktian pada peringkat yang berlainan. Tapi apa pembuktian pada peringkat-2, peringkat-3, dll?

Yunani memanggil apeiron bagi ketakpermanai (infiniti). Kini, masalah ketakpemanai ini adalah salah satu masalah besar dalam matematik, terutamanya dalam mazhab intuisisme. Bahkan, ketakpemanai ini juga merupakan masalah fizik dan masalah falsafah sekaligus. Ahli matematik, Cantor sendiri pun ralat dengan permasalahan ini, dan kemudian cuba diselesaikan oleh Hilbert. Namun anehnya, dalam matematik, ketakpemanai ini tidak pernah dianggap nyata (real). Sebaleknya ia hanya dianggap dalam konteks keupayaan (potential). Persoalannya, mengapakah matematik itu mempertimbangkan sesuatu yang tidak nyata dalam penyelesaiannya?

Saya rasa Brouwer benar di sini dengan mengusulkan pandangan bahawa Matematik itu adalah produk fikiran. Sebab, banyak isu dalam geommetri dan nombor yang berkaitan infiniti adalah produk akal semata, tiadanya jawapan sebenar di alam nyata yang terbatas. Akal melampaui apa yang tercerapkan oleh pancaindera. Itu sebab Matematik yang dihasilkan oleh akal melampaui apa yang mampu dihasilkan oleh pancaindera dalam Sains Tabii dan Teknologi.

Geometri Bukan Euklidan pertama kali didakwa ditemui oleh Bolyai-Lobachevsky pada 1830. Itu memakan masa ribuan tahun setelah penemuan Geometri Euklid. Sebenarnya, apakah hubungan antara geometri–sama ada Euklid mahu pun Bukan Euklid–terhadap falsafah?

Geometri sebenarnya adalah tatacara epistemologi yang dihasilkan oleh akal manusia ketika memerhatikan bagaimana alam ini diuruskan oleh Allah SWT. Aksiom-aksiom Euclid itu adalah landasan-landasan ilmu bagaimana memahami Allah SWT menyusun alam ini. Itu pastinya yang difahami oleh ahli-ahli Matematik Mesir dan Babilon yang beragama Islam, seperti Nabi Ibrahim AS, Nabi Musa AS, dll. Apabila aksiom-aksiom ini sampai kepada Thales dan Euclid, ianya menjadi aksiom-aksiom yang terswakandung kebenarannya, dan mahu diletakkan semata-mata atas akal manusia. Itulah yang diikuti oleh pemikir-pemikir Barat Moden. Kenapa begitu lama baru berubah? Rasanya, itu sebab kerana penekanan sahaja. Maksudnya tiada penekanan kajian terhadap mencari kepalsuan-kepalsuan aksiom Euclid dan menggantikannya dengan yang baru. Umar Khayyam yang pertama mengusulkan kelemahan Aksiom Garis Selari Euclid. Tapi rasanya tidak mengusulkan aksiom yang baru. Tapi mungkin diusulkan oleh pemikir-pemikir Muslim yang lain sebelum Bolyai-Lobachevski. Tentunyalah kedua-dua geometri ini berhubungan dengan Falsafah Penciptaan Alam, atau lebih mendalam Ayat-Ayat Ilahi berkenaan Penciptaan Alam.

Kurt Godel adalah nama besar dalam matematik. Ia terkenal dengan kaedah pemetaan dalam matematik, dan cuba membuktikan kenyataan metamatematik. Namun, tidak ramai yang memahami sumbangannya, yang kini dikatakan sudah dikembangkan dalam banyak bidang lain. Sebenarnya, apakah yang cuba diselesaikan oleh Godel, dan apakah pengaruh penemuannya terhadap bidang-bidang lain?

Paling popular Godel cuba memahami adakah Sistem Matematik itu Terswakandung? Maksudnya, sesuatu Sistem Matematik itu tidak memerlukan sesuatu yang lain selain daripadanya. Hilbert menyatakannya dan mengakuinya sebagai benar. Godel membuktikan sebaliknya dengan mengusulkan Teorem Tak-Lengkap (Incompleteness Theorem) pada 1940-an. Saya pernah ditanya oleh seorang Kristian sewaktu di Bangor, UK dulu tentang implikasi Teorem Godel ini. Saya katakan kepada beliau bahawa beliau perlulah menggunakan Teorem Godel ini bagi menunjukkan bahawa apa-apa juga sistem buatan manusia seperti ekonomi, undang-undang, komputer, jalanraya, kejuruteraan, politik, pengurusan dll yang hanyalah berteraskan logik sifatnya tidak lengkap. Juga cuba tunjukkan bahawa sistem yang disyorkan Tuhan dalam Kitab Taurat dan Kitab Injil adalah lengkap. Pemikir Muslim patut juga memikirkan dua hal ini. Agaknya itulah sebab kajian Godel tidak begitu dipopularkan, sebab menyentuh isu metafizik.

Évariste Galois mati ketika berusia 20 tahun. Sebelum meninggal, ia sempat menulis surat lepada rakannya tentang penemuan-penemuannya yang tidak dihargai sewaktunya hidupnya. Setelah mati dalam pertarungan merebut wanita, teori kumpulannya kemudian mendapat sambutan. Apakah teorinya ini turut bersentuhan dengan falsafah?

Teori Kumpulan penemuan Galois hanyalah berkenaan penyelesaian persamaan berdarjah 5 (kuintik) yang tidak berjaya diselesaikan oeh ahli-ahli aljabar semenjak kurun ke-15M. Kalaupun hendak dikaitkan dengan falsafah, satu-satunya aspek adalah perbincangan mereka tentang takrif simetri yang pertama kali cuba dimatematikkan oleh Plato. Kini dalam Matematik dan Fizik ada idea adisimetri yang menggambarkan perilaku benda-benda subzarah.

Akhir sekali, seperti yang ditunjukkan, matematik adalah melibatkan aspek-aspek falsafah juga. Maka, sudah tentu matematik tidak terbatas dalam aritmetik dan geometri saja sepertimana yang lazim difahami. Justeru, apakah takrif yang paling tepat untuk matematik?

Kalau saya, saya akan mentakrifkan Matematik sebagai tahap pertama dalam epistemologi bagaimana seseorang manusia yang berfikir dapat mewakilkan apa yang cuba difahaminya. Mengikut takrif ini, bahasa dan logik adalah Matematik, selain geometri dan aritmetik.