Topos dan Fizik

Pengenalan
Pada awalnya, ada dua bidang besar dalam Matematik yang dipengaruhi dengan kuat oleh topos. Pertamanya bidang Geometri Aljabar, iaitu bidang teras yang ditakrifkan topos padanya. Dikatakan bahawa Grothendieck sekitar tahun 1959 menemukan masalah ketika bekerja menggunakan topologi Zariski, satu-satunya topologi yang berada dalam aneka beraljabar niskala (abstract algebraic variety) atau skema (scheme). Masalahnya adalah “tidak cukup set terbuka” untuk mentakrifkan kumpulan asasi etale (etale fundamental group). Bagi mengatasi masalah ini, Grothendieck menggantikan “rangkuman Zariski-terbuka” dengan “peta/fungsi etale”. Tetapi kemudian, beliau mendapati bahawa skema yang terhasil bukanlah suatu set bertertib separa. Beliau kemudiannya mentakrifkan “tapak (site)=topologi pada suatu kategori”, yang menyelesaikan masalah-masalah sebelumnya. Topos adalah suatu kategori gemal (sheaves) pada tapak. Topos kemudiannya dianggapkan sebagai pengitlakan kepada suatu ruang topologi. Maka, beberapa bidang lain yang menggunakan konsep topologi seperti Topologi Aljabar, Teori Kategori, Analisis Kompleks, Persamaan Terbitan, dll dipengaruhi dengan kuat oleh konsep ruang yang baru ini. Kami pernah memberitahu hal ini beberapa kali (1, 2 &3).

Bidang kedua yang penting disebutkan adalah Logik Matematik. Ini adalah usaha yang diasaskan oleh Lawvere mulai tahun 1964. Ringkasnya begini. Disebabkan kegagalan gagasan Frege-Russell untuk meletakkan Matematik ke dalam bahasa set-logik, maka usaha dilakukan pula oleh Lawvere untuk meletakkannya ke dalam bahasa kategori set-logik. Gagal juga. Namun, usaha dilakukan pula kepada kategori yang lebih umum, iaitu Kategori bagi kategori dan fungtor dan Kategori bagi kategori dan fungtor bernilai set. Lawvere kemudian mengambil fungtor bernilai set itu kepada set dua nilai {benar, palsu}. Beliau mendapati bahawa topos boleh memiliki objek {benar, palsu}, yang memberikan takrif topos permulaan (elementary topos). Kemudian, ditemukan pula bahawa logik intuisi Brouwer-Heyting dapat ditakrifkan dalam suatu topos permulaan. Implikasi yang penting diketahui setakat ini adalah topos permulaan ini cuba dijadikan bahasa landasan baru bagi Matematik (4 & 5).

Dua perkembangan tadi boleh dirujuk dengan lebih teliti dalam buku Johnstone (6). Kami akan terus masuk membincangkan bagaimanakah topos digunakan dalam memodelkan bidang fizik.

2. Ceramah Riemann Tentang Manifold
Syarahan Perdana Riemann (1854), Ueber die Hypothesen,Welche der Geometrie zu Grunde Liegen, di Universiti Gottingen (7), dan tulisannya pada tahun 1861 (8), mengutarakan teori-teori yang menjadi teras bagi bidang Geometri Kebezaan, terutamanya teori manifold. Namun, beberapa kesukaran paling mendasar kedapatan dalam teori manifold Riemann. Diantara yang utama adalah ruang fungsi diantara manifold bukanlah suatu manifold. Walaupun demikian halnya, beberapa pengkaji masih tetap membangunkan teori manifold Riemann, antaranya Darboux, Lie (9), Cartan (10), Weil (11), Ehresmann (12), Lojasiewicz (13), Malgrange (14) dan Tougeron (15). Keseluruhan kelemahan teori manifold Riemann, yang beberapa bahagian daripadanya telah ditunjukkan oleh Descartes sebelumnya dan Lie dan Cartan selepasnya, jika dilihat dari sudut pandang Teori Kategori, seperti yang dirumuskan oleh Causo (16) dan Moerdijk dan Reyes (17) adalah :
i. Kategori M bagi C∞-manifold dan C∞-peta tidak tertutup secara Cartesan. Khususnya ruang C∞-peta tidak semestinya suatu manifold.
ii. Kategori M tidak memiliki had songsang terhingga (finite inverse limit). Khususnya, tarikan kebelakang (pullback) bagi manifold tidak semestinya suatu manifold. Ini ditunjukkan dalam kerja-kerja Descartes.
iii. Ketiadaan alat untuk menguruskan struktur yang “tak terhingga kecil” (infinitesimal). Ini ditunjukkan dalam kerja-kerja Lie dan Cartan.

Sebelum Lawvere yang akan kami bincangkan di bawah, Ehresmann sebenarnya semenjak tahun 1951 telah beberapa kali mencadangkan agar Geometri Kebezaan ini dikaji menerusi Teori Kategori. Tetapi, saranan beliau tidak berapa mendapat sambutan. Mungkin kerana Teori Kategori pada masa itu masih pada peringkat perkembangan awal.

3. Ceramah Lawvere Tentang Topos Licin
Dimotivasikan oleh kerja-kerja Ehresmann, Weil dan Grothendieck tentang Teori Kategori dan Teori Topos, Lawvere (18-24) mengusulkan penyelesaian kepada masalah Riemann tersebut menerusi beberapa langkah berikut :
i. Pengaksioman ketegori ruang licin dan fungsi licin.
ii. Pengaksioman Topologi Kebezaan menggunakan kaedah-kaedah Geometri Aljabar (Perancis).
iii. Pengaksioman Mekanik Kontinum mengikut cara Walter Noll.

Ringkasnya, langkah awal Lawvere adalah membina sebuah kategori aneka formal L yang mengandungi kategori manifold M, atau secara tepatnya, kategori C∞-manifold M terbenam secara penuh dan setia dalam kategori aneka formal L. Kategori L mengandungi had songsang terhingga dan ruang “tak terhingga kecil”, tetapi tidak mengandungi ruang fungsi. Oleh kerana L mengandungi tapak=topologi pada kategori=topologi Grothendieck, maka boleh dibina topos=kategori gemal Gem(L) yang mengandungi ruang fungsi yang dikehendaki. Keseluruhan pembinaan ini dibincang dalam (17).

4. Perkembangan Terkini Topos dan Fizik
Rujukan kami terhadap pelbagai penulisan yang menyentuh isu Topos dan Fizik semenjak makalah yang pertama di tulis oleh Christopher Isham pada tahun 1997 menunjukkan bahawa aspek logik bagi Teori Topos itulah yang diharapkan dapat menggantikan cara Fizik dikembangkan sekarang, yang masih menggunakan silogisme Aristotle ataupun lebih maju Logik Matematik Frege-Russell. Perkembangan ini boleh sahaja dikatakan sebagai cabangan kepada usaha menggantikan landasan Matematik daripada menggunakan Set-Logik kepada Kategori-Topos Permulaan, yang kami sebutkan pada perengggan kedua itu. Malahan, secara kebetulannya pula, kedua-duanya, Mekanik Quantum dan Topos Permulaan, tidak mematuhi Hukum Tengah Terkecuali (Excluded Middle Law), iaitu ~(~a)≠a.

Nota Rujukan
1. Mohammad Alinor Abdul Kadir. 1999. Topologi dari perspektif Teori Gemal. Kolokuium PPSM ke-6, 14/12/1999.
2. ———————————————. 2000. Strong shape theory and fundamental group of a topos. School on Vanishing Theorems and Effective Results in Algebraic Geometry, 25/4/2000-12/5/2000, Abdus Salam ICTP, Trieste, Italy.
3. ——————————————-. 2000. Homotopy coherence of covering, etale covering and hypercovering. Thesis PhD. University of Wales, Bangor, UK.
4. ——————————————-. 2009. The logical aspect of topos theory. Day of Algebra, 29/1/2009, INSPEM, UPM.
5. Othman Mohamed. 2000. Teori permulaan bagi bagi kategori set. Kajian ilmiah Sarjanamuda Matematik, PPSM, FST, UKM.
6. Johnstone, P.T. 1970. Topos Theory. London : Academic Press.
7. Riemann, B. 1854. On the hyphoteses which lie at the foundations of Geometry.
8. —————. 1861. An extract from Riemann’s paper of 1861.
9. Lie, S. 1876. Allgemeine Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. Math. Ann. (9) : 245-296.
10. Cartan, E. 1928. Lecons sur la geometrie des espaces de Riemann. Gauthiers-Villars.
11. Weil, A. 1953. Theorie des points proches sur les varieties differentiables. Colloque de Geometrie Differentialle de Strassbourg.
12. Ehresmann, C. 1953. Introduction a la theorie des structures infinitesimals et des pseudo-groups de Lie. Colloque de Geometrie Differentialle de Strassbourg.
13. Lojasiewicz, S. 1959. Sur le probleme de la division. Studia Math. 8 : 87-136.
14. Malgrange, B. 1966. Ideals of Differentiable Functions. London : OUP.
15. Tougeron, J.C. 1977. Ideaux de fonctions differentiables. Ergebnisse der Math. London : Springer-Verlag.
16. Causo, F.G. 1986. Smooth Algebraic Geometry. Alxebra 44. Departamento de Algebra. Universidad de Santiago de Compostela, Espana.
17. Moerdijk, I. and Reyes, G.E. 1991. Models for Smooth Infinetesimal Analysis. Berlin : Springer-Verlag.
18. Lawvere, F.W. 1967. Categorical dynamics. Lecture at the University of Chicago.
19. —————–. 1971-72. Categorical dynamics. Lecture at the University of Aarhus.
20. —————–. 1978a. Algebraic theory of classical thermostatics. Open House on Topos Theoretic Methods in Geometry and Analysis. Mathematic Institute Aarhus. 10-24/5/1978.
21. ——————. 1978b. Is category theory useful in learning thermo mechanics.—
22. ——————. 1978c. Discussion on Physics.—
23. ——————. 1978d. Category of dimensions. —
24. ——————. 1980. Toward the description in a smooth topos of the dynamically possible motions and deformations of a continuous body. Cahiers de Top. et Geom. Diff. XXI(4) : 377-392.